بيّن أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي، لذا فإن التوحيد هو إحدى خصائص العدد الصحيح، حيث يتم تصنيفها إلى جزأين العدد الزوجي والعدد الفردي، بحيث يمكن التمييز بينهما بسهولة بالقسمة على الرقم 2، لأنه قبل القسمة بدون باقي يوجد عدد زوجي، وآخر مصنف ضمن أعداد فردية، ومن خلاله سنتعلم حل البرهان على أن مجموع عددين فرديين هو زوج أرقام.
محتويات
الأعداد الزوجية والفردية
الأرقام الزوجية والفردية تتبع مجموعة الأعداد الصحيحة، والفرق بينها قابل للقسمة على الرقم 2، وتأتي الأعداد الزوجية على شكل (2،4،6،8،10، …) بينما تلك الأعداد الفردية تأتي بالصيغة (1، 3، 5، 7، 9، 11، … ..) وهكذا، ومن الممكن أيضًا التمييز بينها من خلال وضع الوحدات في أي رقم، نظرًا لأن جميع الأرقام في تلك الوحدات المكان الذي ينتهي بالأرقام (1،3،5،7،9) تعتبر أرقامًا فردية، في حين أن الأرقام التي تنتهي في خانة الوحدات (0،2،4،6،8) تعتبر أزواج.
بيّن أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
الدليل الرياضي هو حجة استنتاجية لإثبات صحة بيان رياضي قائم على البديهيات المعروفة. والدليل على أن مجموع رقمين فرديين هو رقم زوجي يأتي على النحو التالي
- أظهر أن رقم فردي + رقم فردي = رقم زوجي
- الخطوة الأولى في الحل افترض أن الأرقام الفردية هي 2 أ – 1، 2 ب – 1
- الخطوة 2 أضف الرقمين 2 أ + 2 ب – 2
- الخطوة الثالثة قسّم مجموع العددين على 2 2 / (2a + 2b – 2)
- عند القسمة، نأخذ العامل المشترك للبسط، فيصبح (أ + ب – 1) 2
- ثم اقسم على 2 لتصبح 2 / (أ + ب – 1) 2
- نتيجة العملية أ + ب – 1، وهذا يثبت أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي، لأنه لا يوجد باقٍ عند القسمة على 2.
خصائص الأعداد الفردية والزوجية
توجد مجموعة من الخصائص للأرقام الفردية والزوجية، بما في ذلك
- يتبع كل رقم زوجي رقم فردي، لذا فإن الصفر هو رقم زوجي لأنه يسبق الرقم 1، وهو رقم فردي.
- يتم ترتيب الأرقام الفردية والزوجية بترتيب منتظم على خط الأعداد بحيث يكون عددًا زوجيًا، ثم عددًا فرديًا، وهكذا إلى ما لا نهاية.
- الأرقام الفردية والزوجية لا نهائية، لذا لا يمكن عدها.
- يتم التعبير عن الرقم الزوجي بالرقم 2 أ ويتم التعبير عن الرقم الفردي على أنه 2 أ + 1، نظرًا لأن الرقم أ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة.
- الأرقام الزوجية مقسمة إلى مجموعتين بالتساوي، بينما الأرقام الفردية لا تزال واحدة صحيحة.
أمثلة على الأرقام الفردية والزوجية
يتم توفير أمثلة توضيحية للأرقام الفردية والزوجية لتسهيل فهم تعريفها وخصائصها. ومن الأمثلة على ذلك
- المثال الأول صنف الأرقام التالية إلى أعداد فردية وزوجية 220، 214، 511، 149
- عند حل مثل هذه الأسئلة، فإن القاعدة التي تنص على أن الأرقام التي توضع فيها الوحدات تنتهي بالأرقام (1،3،5،7،9) تعتبر أرقامًا فردية، بينما تنتهي الأرقام التي توضع فيها الوحدات بالأرقام التالية (0،2، 4، 6، 8) أعداد زوجية.
- الحل 220 عدد زوجي لأن خانة الآحاد تساوي 0.
- 214 عدد زوجي بما أن خانة الآحاد هي 4.
- 511 هو رقم فردي لأن خانة الآحاد هي الرقم 1.
- 149 عدد فردي بما أن خانة الآحاد هي 9.
- المثال الثاني هل حاصل ضرب الأرقام 47888519 + 78565237 عدد زوجي
- تنص القاعدة على أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي.
- الرقمان في المثال زوجي، لأن كلاهما فردي.
- الحل عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، وبالتالي تكون النتيجة عددًا زوجيًا (بدون استخدام الآلة الحاسبة، القسمة على 2).
هنا وصلنا إلى نهاية مقالنا بإثبات أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي، حيث نلقي الضوء على الخصائص العامة للأرقام الفردية والزوجية ونوضحها ببعض الأمثلة الإرشادية.