ما هي الأعداد الصحيحة في الرياضيات وما هي مجموعتها وخصائصها وعملياتها الحسابية المبنية عليها من الأشياء المهمة التي يحتاجها الطالب، ليس فقط في الرياضيات، ولكن في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية، حتى في معظم مجالات الحياة وجوانبها التي نحتاجها، حيث سيجيب على جميع أسئلتك حول هذا الموضوع و التي تهمك.
محتويات
ما هي الاعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية، وهي أرقام لا تأتي في شكل عشري أو كسري. الأعداد الصحيحة ككل تحتوي على أعداد سالبة وموجبة، بما في ذلك الصفر. في نظرية الأعداد الجبرية، يتم تصنيف الأعداد الصحيحة أحيانًا على أنها أعداد صحيحة منطقية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر عمومية، في الواقع (Boolean) هي أعداد صحيحة جبرية هي أيضًا أرقام منطقية، أمثلة على الأعداد الصحيحة هي -5، 0، 1، 5 و 8 و 97 و 3043.
مجموعة من الأعداد الصحيحة
تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها Z ما يلي
- الأعداد الصحيحة الموجبة عدد صحيح موجب إذا كان أكبر من الصفر، على سبيل المثال 1، 2، 3 وغيرها.
- الأعداد الصحيحة السالبة تكون الأعداد الصحيحة سالبة إذا كانت أقل من الصفر، على سبيل المثال -1، -2، -3 وغيرها.
- عدد صحيح محايد الصفر ليس عددًا صحيحًا موجبًا أو سالبًا، إنه عدد صحيح محايد. مثال Z = {… -7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …} وأرقام موجبة وسالبة وأرقام أخرى كلها أعداد صحيحة .
خصائص الأعداد الصحيحة
هناك خمس خصائص رئيسية للأعداد الصحيحة، وهنا شرح مفصل لكل خاصية على حدة
ميزة القفل
- تثبت خاصية الإغلاق الخاصة بالجمع والطرح أن مجموع أو الفرق بين عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y أي رقمين صحيحين، فإن x + y و x – y سيكونان أيضًا عددًا صحيحًا، المثال 1 3-4 = 3 + (−4) = 1، (5) + 8 = 3 النتائج هي أعداد صحيحة.
- يشير الإغلاق تحت خاصية الضرب إلى أن حاصل ضرب عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y أي رقمين صحيحين، فسيكون xy أيضًا عددًا صحيحًا. مثال 2 6 × 9 = 54 ؛ (5) x (3) = 15 وهي أعداد صحيحة.
- لا يحتوي القسمة الصحيحة على خاصية إغلاق، أي أن حاصل قسمة أي عددين صحيحين x و y قد يكون أو لا يكون عددًا صحيحًا، على سبيل المثال، 3 (−3) ÷ (−6) = ½ ليس عددًا صحيحًا.
ميزة التبادل
- تنص الخاصية التبادلية للجمع والضرب على أن ترتيب المصطلحات لا يهم، وستكون النتيجة هي نفسها، سواء كانت إضافة أو مضاعفة، ولن يغير تبادل المصطلحات المجموع أو المنتج، لنفترض x و y إما عدد صحيح، ثم ⇒ x + y = y + x، ⇒ xxy = yxx، المثال 4 4 + (−6) = −2 = (6) + 4، 10 x (−3) = 30 = (3) × 10.
- لكن الطرح (x – y ≠ y – x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) ليسا تبادليين للأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة مثال 5 4 – (6) = 10 ؛ (−6) – 4 = 10 4 – (−6) ≠ (6) – 4، مثال 10 ÷ 2 = 5 ؛ 2 ÷ 10 = 10 2 2 10
خاصية القوس
- تنص الخاصية الترابطية للجمع والضرب على أن شرح طريقة تجميع الأرقام ليست مهمة وأن النتيجة ستكون هي نفسها، ويمكن تجميع الأرقام بأي شكل من الأشكال لكن الإجابة ستبقى كما هي، ويمكن عمل الأقواس بشكل مستقل عن ترتيب المصطلحات، افترض أن x و y و z هي أي ثلاثة أرقام صحيحة ⇒ x + (y + y) = (x + y) + z ⇒ xxx (yxy) = (xxy) xp، المثال 6 1 + ( 2 + (-3)) = 0 = (1 + 2) + (−3) ؛ 1 × (2 × (−3)) = 6 = (1 × 2) × (−3).
- إن طرح الأعداد الصحيحة ليس ترابطيًا في الطبيعة، أي x – (y – z) ≠ (x – y) – z، المثال 7 1 – (2 – (−3)) = −4 ؛ (1-2) – (−3) = 2، 1 – (2 – (−3)) ≠ (1-2) – (−3)
خاصية التوزيع
يشرح التوزيع القدرة على توزيع العمليات على عملية حسابية أخرى داخل مقطع ما، ويمكن أن يكون خاصية توزيع للضرب بخاصية الجمع أو خاصية التوزيع للضرب بالطرح، وهنا تضاف الأعداد الصحيحة أو تطرح أولاً ثم الضرب أو اضرب أولاً مع كل رقم داخل القوس ثم اجمع أو اطرح. يمكن تمثيل ذلك لأي عدد صحيح x و y و z على النحو التالي
- ⇒ xx (y + y) = xxy + xx
- ⇒ xx (y – z) = xxy – xx
مثال 8 −5 (2 + 1) = 15 = (5 × 2) + (−5 × 1)
خاصية الهوية
- تنص خاصية الهوية المضافة على أنه عند إضافة أي عدد صحيح إلى الصفر، فإنه سيعطي نفس الرقم، ويسمى الصفر الهوية المضافة لأي عدد صحيح x، x + 0 = x = 0 + x
- تشير خاصية الهوية المزدوجة للأعداد الصحيحة إلى أنه عندما يتم ضرب رقم في 1، فإنه سيعطي نفس العدد الصحيح مثل المنتج، لذلك يُطلق على الرقم 1 الهوية المزدوجة لرقم، لأي عدد صحيح x، xx 1 = x = 1 xx
- إذا تم ضرب عدد صحيح في 0، فستكون النتيجة صفرًا xx 0 = 0 = 0 xx
- إذا تم ضرب عدد صحيح في -1، فسيكون المنتج عكس الرقم xx (−1) = −x = (−1) x x.
عمليات عدد صحيح
ترتبط العمليات الحسابية الأساسية الأربع بأعداد صحيحة وهذه العمليات هي
اجمع الأعداد الصحيحة
يتم وضع الرقم صفر في منتصف خط الأعداد، وعندما نمتد إلى يمين الصفر لدينا أرقام موجبة وأرقام سالبة تمتد إلى يسار الصفر، وعند إضافة أعداد صحيحة موجبة وأعداد صحيحة سالبة، سنتخيل أننا نتحرك على طول خط الأعداد، اجمع وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد وأضف اطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، فيما يلي قواعد جمع الأعداد الصحيحة
- عند إضافة رقمين بنفس العلامة، نضع العلامة ثم نضيف على سبيل المثال إذا افترضنا أنه طُلب منا جمع الرقمين 4 و 3، فسنبدأ بالانتقال إلى الرقم 4 على خط الأعداد، نقل أربع وحدات بالضبط إلى اليمين من الصفر، ثم يتعين علينا تحريك ثلاث وحدات إلى اليمين. بما أننا وضعنا سبع وحدات على يمين الصفر، فإننا نقول إن مجموع 3 و 4 يساوي 7، (+3) + (+4) = +4، أو (-3) – (-4) = (- 7).
- عند إضافة عددين مختلفين بعلامة، نضع علامة الأكبر عندما نطرح ) إذا افترضنا أنه طُلب منا جمع العددين 8 و -2، فسنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر و ثم نقل وحدتين إلى اليسار من خلال الموقع الرسميك لأننا نعلم أن الأعداد السالبة تجعلنا ننتقل إلى الجانب الأيسر من خط الأعداد، نظرًا لأن آخر موضع لدينا هو ست وحدات على يمين الصفر، يمكننا القول إن مجموع 8 و – 2 يساوي 6، (-2) + (+8) = +6، (+2) – (-8) = -6.
اطرح الأعداد الصحيحة
تصبح مشاكل الطرح مشاكل جمع. هناك خطوتان رئيسيتان يتم اتباعهما عند طرح رقمين
- قم بتغيير علامة الطرح في السؤال المحدد إلى علامة الجمع (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
- اعكس علامة الرقم الذي يلي مباشرةً علامة الجمع الموضوعة حديثًا (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
وفقًا لهذه الخطوات، يتعين علينا تغيير علامة الطرح إلى علامة الجمع في أي سؤال يتعين علينا أخذ معكوس 3 وهو -3، لذا فإن المشكلة الآن هي
- (+4) + (-3) الآن، باستخدام قواعد الجمع، الإجابة التي نحصل عليها هي +1.
- = (+ 4) – (+3)
- = (+ 4) + (-3)
- = + 1
فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى لفهم أفضل
- مثال 1) -2 – 7 = -2 + (-7) = -9
- مثال 2) 6 – (-2) = 6 + 2 = 8
- مثال 3) -7 – (-2) = -7 + 2 = -5
اضرب الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند ضرب عددين صحيحين، نقوم بضرب بدون إشارة، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد ضرب العددين
- تكون علامة النتيجة موجبة إذا كان للرقمين نفس العلامة (+4) x (+3) = +12، (-4) x (-3) = +12.
- تكون علامة النتيجة سالبة إذا تساوى الرقمان مع العلامة (-4) x (+3) = -12، (+4) x (-3) = -12.
قسمة الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند قسمة رقمين صحيحين، نقوم بالقسمة بدون إشارة، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد قسمة العددين
- تكون علامة النتيجة موجبة إذا تساوى الرقمان مع العلامة (+12) ÷ (+3) = +4، (-12) ÷ (-3) = +4.
- تكون علامة النتيجة سالبة إذا تساوى الرقمان مع العلامة (-12) ÷ (+3) = -4، (+12) ÷ (-3) = -4.
بهذا القدر من المعلومات نصل إلى نهاية هذه المقالة التي كانت بعنوان ما هي الأعداد الصحيحة، والتي نقدم فيها معلومات حول مجموعات الأعداد الصحيحة وخصائصها الخمسة، وفي نهاية المقالة نقدم عمليات على الأعداد الصحيحة مع أمثلة من أجل إثراء فكر قرائنا الأعزاء.